题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.

(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;

(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?

(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+(2)(3)(4)在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P().

【解析】

试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出GH,点F的坐标,用三角形的面积公式计算即可;(3)设出点M,用勾股定理求出点M的坐标,从而求出MD,最后求出时间t;(4)由∠PBF被BA平分,确定出过点B的直线BN的解析式,求出此直线和抛物线的交点即可.

试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+

(2)如图1,

过点A作AH∥y轴交BC于H,BE于G,

由(1)有,C(0,﹣2),

∵B(0,3),

∴直线BC解析式为y=x﹣2,

∵H(1,y)在直线BC上,

∴y=﹣

∴H(1,﹣),

∵B(3,0),E(0,﹣1),

∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1,

∴G(1,﹣),

∴GH=

∵直线BE:y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F,B,

∴F(,﹣),

∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|

=GH×|xB﹣xF|

=××(3﹣

=

(3)如图2,

由(1)有y=﹣x2+x﹣2,

∵D为抛物线的顶点,

∴D(2,),

∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,

∴设M(2,m),(m>),

∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,

∵∠OMB=90°,

∴OM2+BM2=AB2

∴m2+4+m2+1=9,

∴m=或m=﹣(舍),

∴M(0,),

∴MD=

∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,

∴t=

(4)存在点P,使∠PBF被BA平分,

如图3,

∴∠PBO=∠EBO,

∵E(0,﹣1),

∴在y轴上取一点N(0,1),

∵B(3,0),

∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①,

∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上,

联立①②得,(舍),

∴P(),

即:在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P().

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