题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;
(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?
(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣(x﹣2)2+;(2).(3)﹣;(4)在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
【解析】
试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出GH,点F的坐标,用三角形的面积公式计算即可;(3)设出点M,用勾股定理求出点M的坐标,从而求出MD,最后求出时间t;(4)由∠PBF被BA平分,确定出过点B的直线BN的解析式,求出此直线和抛物线的交点即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,
∴
∴,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;
(2)如图1,
过点A作AH∥y轴交BC于H,BE于G,
由(1)有,C(0,﹣2),
∵B(0,3),
∴直线BC解析式为y=x﹣2,
∵H(1,y)在直线BC上,
∴y=﹣,
∴H(1,﹣),
∵B(3,0),E(0,﹣1),
∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1,
∴G(1,﹣),
∴GH=,
∵直线BE:y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F,B,
∴F(,﹣),
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××(3﹣)
=.
(3)如图2,
由(1)有y=﹣x2+x﹣2,
∵D为抛物线的顶点,
∴D(2,),
∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,
∴设M(2,m),(m>),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=AB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m=或m=﹣(舍),
∴M(0,),
∴MD=﹣,
∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,
∴t=﹣;
(4)存在点P,使∠PBF被BA平分,
如图3,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y轴上取一点N(0,1),
∵B(3,0),
∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①,
∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上,
联立①②得,或(舍),
∴P(,),
即:在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P(,).