Question

周长为36、各边都为整数的三角形的个数为________个．

Answer 1

27
分析：三角形的三边中，等边三角形三边相等；除此外，必有一边是最长边；故可设三边长分别为a≤b≤c，则①a+b=36-c＞c，而且最大边须满足：②c≥12，故可得c只能在12，13，14，15，16，17，18中选；
当c=12时，b=12，a=12；
当c=13时，b=13，a=10或b=12，a=11；
当c=14时，b=14，a=8或b=13，a=9或b=12，a=10或b=11，a=11．
当c=15时，b=15，a=6或b=14，a=7，或b=13，a=8或b=12，a=9或b=12，a=10或b=11，a=11；
当c=16时，b=16，a=4或b=15，a=5，或b=14，a=6或b=13，a=7或b=12，a=8或b=11，a=9或b=10，a=10；
当c=17时，b=17，a=2或b=16，a=3，或b=15，a=4，或b=14，a=5，或b=13，a=6，或b=12，a=7，或b=11，a=8，或b=10，a=9；
解答：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=36-c＞c≥12，
∴12≤c＜18，故c=12，13，14，15，16，17；分类讨论如下：
当c=12时，b=12，a=12；
当c=13时，b=13，a=10或b=12，a=11；
当c=14时，b=14，a=8或b=13，a=9或b=12，a=10或b=11，a=11．
当c=15时，b=15，a=6或b=14，a=7，或b=13，a=8或b=12，a=9或b=12，a=10或b=11，a=11；
当c=16时，b=16，a=4或b=15，a=5，或b=14，a=6或b=13，a=7或b=12，a=8或b=11，a=9或b=10，a=10；
当c=17时，b=17，a=2或b=16，a=3，或b=15，a=4，或b=14，a=5，或b=13，a=6，或b=12，a=7，或b=11，a=8，或b=10，a=9；
∴满足条件的三角形的个数为27个．
故答案为27．
点评：本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度较大，关键是掌握找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握，然后用分类讨论的思想解题．