题目内容
操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：
纸片利用率=
| 纸片被利用的面积 | 纸片的总面积 |
发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程，比较哪种方案中纸片的利用率高．
分析：（1）连接AC、BC、AB，据每个小正方形的边长为1，可以证得∠ACB=90°，故问题可求．
（2）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求．
（2）如图，作辅助线，利用三角形全等和三角形相似对应边成比例，可以分别求得直角三角形的两个直角边的长度，于是问题可求．
解答：解：（1）小明的这个发现正确．
理由：如图1：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=
，AB=
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图2：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
（2）如图3：由题意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
=
，
∴
=
，
∴BC=8．
∴S△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=
×100%=
×100%=37.5%．
∴37.5%＜38.2%，
故方案一中纸片的利用率高．
理由：如图1：连接AC、BC、AB，
∵AC=BC=
| 10 |
| 20 |
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
解法二：如图2：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，
∴∠ACM=∠CBN．
又∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠ACB=90°，
∴AB为该圆的直径．
（2）如图3：由题意，可得△ADE≌△EHF（ASA），
∴AD=EH=1．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
| AD |
| AC |
| DE |
| CB |
∴
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| CB |
∴BC=8．
∴S△ACB=16．
∴该方案纸片利用率=
| 展开图的面积 |
| 纸板的总面积 |
| 6 |
| 16 |
∴37.5%＜38.2%，
故方案一中纸片的利用率高．
点评：此类题目，考查学生对新知识的理解能力，本题的解答关键是灵活运用所学相关的知识点来解决问题．
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纸片利用率=
×100%
你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．