Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

（1）若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
（2）求证：∠MPB＝90°－ ∠FCM．

Answer 1

（1）连结MD
∵点E是DC的中点，ME⊥DC ∴MD=MC
又∵AD=CF,MF=MA ∴△AMD≌△FMC
∴∠MAD=∠MFC=120° ∵AD∥BC，∠ABC＝90°
∴∠BAD＝90°      ∴∠MAB＝30°
在Rt△AMB中，∠MAB＝30°
∴BM=AM．,即AM=2BM
(2)∵△AMD≌△FMC ∴∠ADM=∠FCM
∵AD∥BC        ∴∠ADM=∠CMD
∴∠CMD=∠FCM
∵MD=MC,ME⊥DC
∴∠DME==∠CME=∠CMD
∴∠CME=∠FCM
在在Rt△MBP中，∠MPB＝90°-∠CME=90°- ∠FCM

解析