题目内容
已知在同一直角坐标系中，直线l：y＝x－3k＋6与y轴交于点P，M是抛物线C：
y＝x2－2(k＋2)x＋8k的顶点．
(1)求证：当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点；
(2)A、B是抛物线c与x轴的两交点，A、B在y轴两侧，且A在B的左边，判断：直线l能经过点B吗？(需写出判断的过程)
(3)在(2)的条件下，是否存在实数k，使△ABP和△ABM的面积相等？如果存在，请求出此时抛物线C的解析式；若不存在，请说明理由．
答案：
解析：
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(1)证明：在抛物线C中， Δ＝4(k＋2)2－32k ＝4k2－16k＋16 ＝4(k－2)2． 1分 ∵当k≠2时，4(k－2)2＞0， ∴方程x2－2(k＋2)x＋8k＝0有两个不相等的实数根． ∴当k≠2时，抛物线C与x轴必定交于两点． 2分 (2)解方程x2－2(k＋2)x＋8k＝0， 得x1＝4，x2＝2k． 3分 ∵点A、B在y轴两侧，且A在B的左边， ∴k＜0，点B(4，0)． 4分 把点B(4，0)代入y＝x－3k＋6， 得k＝ ∴直线l不可能经过点B． 5分 (3)y＝x2－2(k＋2)x＋8k ＝[x－(k＋2)]2－(k－2)2， 作MH⊥x轴于H，则MH＝(k－2)2． 6分 ∵k＜0，∴－3k＋6＞0． ∴OP＝－3k＋6． 由S△ABP＝S△ABM，得－3k＋6＝(k－2)2 7分 解得k1＝－1，k2＝2(舍去) ∴存在实数k＝－1，使得S△ABP＝S△ABM． 此时，抛物线C的解析式是y＝x2－2x－8． 8分 |
＞0，与“k＜0”不符．
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