Question

阅读并解答：
①方程x²﹣2x+1=0的根是x₁=x₂=1，则有x₁+x₂=2，x₁x₂=1．
②方程x²﹣x﹣2=0的根是x₁=，x₂=，则有x₁+x₂=，x₁x₂=﹣1．
③方程3x²+4x﹣7=0的根是x₁=﹣，x₂=1，则有x₁+x₂=﹣，x₁x₂=﹣．
（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x₁，x₂，那么x₁，x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；
（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²﹣2=0有实数根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=11，求k的值．

Answer 1

解：（1）猜想为：设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，
则有，．
理由：设x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，，．
于是有，，
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有，．
（2）x₁、x₂是方程x²+（2k+1）x+k²﹣2=0的两个实数根
∴x₁+x₂=﹣（2k+1），x₁x₂=k²﹣2，
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂﹣2x₁x₂=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂
∴[﹣（2k+1）]²﹣2×（k²﹣2）=11
整理得k²+2k﹣3=0，
解得k=1或﹣3，
又△=[﹣（2k+1）]²﹣4（k²﹣2 ）≥0，解得k≥﹣，∴k=1．