题目内容
如图1,已知:已知:等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合),求证:BD+DC>AD.下面的证法供你参考:
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE,连接ED,则有△ACD≌△ABE,DC=EB,∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD
实践探索:
(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:
如图3,点D是等腰直角三角形△ABC边上的点(点D不与B、C重合).求证:BD+DC>

(2)如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时,BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系?直接写出结论.
创新应用:
(3)已知:如图4,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?写出你的猜想,并证明.

【答案】分析:(1)把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED,则易证△ACD≌△ABE,根据勾股定理可以的到DE=
AD,在△DBE中利用两边之和大于第三边即可得到;
(2)把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED,则易证△ACD≌△ABE,△AED是等腰直角三角形,则DE=
AD,在△BED中,利用三角形三边关系定理即可证得;
(3)把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE,则有△ACD≌△ABE,则易证E、B、D三点共线,在等腰△ADE中,利用两边之和大于第三边即可得到.
解答:
解:(1)证明:把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED
则有△ACD≌△ABE,
DC=EB
∵AD=AE,∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=
AD
在△DBE中,BD+EB>DE,
即:BD+DC>
AD;
(2)
把△ABD旋转,使AB与AC重合,然后绕AC旋转,得到△ACD′,
则BD=CD′,
在△CDD′中,CD+CD′>DD′,
即BD+CD>DD′,
∵△ADD′是钝角三角形,则DD′>
AD
当D运动到B的位置时,DD′=BC=
AD.
∴BD+DC≥
AD;
(3)猜想1:BD+DC<2AD
证明:把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE则有△ACD≌△ABE,DC=EB,∠ACD=∠ABE
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠ABD+∠ACD=180°
∴∠ABD+∠ABE=180°
即:E、B、D三点共线.
∵AD=AE,
∴在△ADE中,AE+AD>ED,即BD+DC<2AD.
点评:本题考查了旋转的性质以及勾股定理,通过旋转构造全等的三角形,把所研究的三条线段转移到同一个三角形中,是解题的基本思路.

(2)把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE,连接ED,则易证△ACD≌△ABE,△AED是等腰直角三角形,则DE=

(3)把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE,则有△ACD≌△ABE,则易证E、B、D三点共线,在等腰△ADE中,利用两边之和大于第三边即可得到.
解答:

则有△ACD≌△ABE,
DC=EB
∵AD=AE,∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=

在△DBE中,BD+EB>DE,
即:BD+DC>

(2)

则BD=CD′,
在△CDD′中,CD+CD′>DD′,
即BD+CD>DD′,
∵△ADD′是钝角三角形,则DD′>

当D运动到B的位置时,DD′=BC=

∴BD+DC≥

(3)猜想1:BD+DC<2AD
证明:把△ACD绕点A顺时针旋转α,得到△ABE则有△ACD≌△ABE,DC=EB,∠ACD=∠ABE
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠ABD+∠ACD=180°
∴∠ABD+∠ABE=180°
即:E、B、D三点共线.
∵AD=AE,
∴在△ADE中,AE+AD>ED,即BD+DC<2AD.
点评:本题考查了旋转的性质以及勾股定理,通过旋转构造全等的三角形,把所研究的三条线段转移到同一个三角形中,是解题的基本思路.

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;
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按顺时针方向旋转
,得到
,连接
,
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是勾股四边形.