Question

如图，把菱形ABCD沿着BD的方向平移到菱形A′B′C′D^/′的位置．
（1）求证：重叠部分的四边形B′EDF是菱形；
（2）若重叠部分的四边形B′EDF′面积是把菱形ABCD面积的一半，且BD=

2

，求则此菱形移动的距离．

Answer 1

分析：（1）根据平移的性质和菱形的性质，可以首先证明它是一个平行四边形，再根据等腰三角形的性质和判定证明其一组邻边相等，即可证明它是一个菱形；
（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方，可以计算出小菱形的边，再进一步计算其平移的距离．

解答：（1）证明：有平移的特征知A′B′∥AB，又CD∥AB，
∴A′B′∥CD，同理B′C′∥AD．
∴四边形BEDF为平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
∴∠ABD=∠ADB．
又∵∠A′B′D=∠ABD，
∴∠A′B′D=∠ADB．
∴FB′=FD．
∴四边形B′EDF为菱形．

（2）解：∵菱形B′EDF与菱形ABCD有一个公共角，
∴此两个菱形对应角相等又对应边成比例．
∴此两个菱形相似．
∵S_菱形ABCD：S_菱形FB'ED=2：1，
∴

B′D

BD

=

1 2

．
∴B′D=

2

2

×

2

=1．
∴平移的距离BB′=BD-B′D=

2

-1．

点评：此题综合考查了平移的性质、菱形的性质和相似多边形的性质．只要抓住事物本质的东西，问题就可以迎刃而解了．