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精英家教网如图所示,一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动;将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为
 

简述证明主要思路.
分析:连CM,由点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点,根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到CM=MB=MA,∠A=∠ACM=∠MCB=45°,∠CMA=90°,利用等角的余角相等得到∠AMF=∠EMC,根据“SAS”可得△AFM≌△CEM,则S△AFM=S△CEM,于是重叠部分四边形CEMF的面积=S△ACM=
1
2
S△ACB,然后利用三角形的面积公式计算即可.
解答:精英家教网解:重叠部分四边形CEMF的面积为
1
4
a2.证明如下:
连CM,如图,
∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点,
∴CM=MB=MA,
∴∠A=∠ACM=∠MCB=45°,∠CMA=90°,
又∵△MNK为直角三角形,
∴∠EMF=90°,
∴∠AMF=∠EMC=90°-∠CMF,
在△AFM和△CEM中,
∠A=∠MCE
AM=CM
∠AMF=∠CME

∴△AFM≌△CEM,
∴S△AFM=S△CEM
∴重叠部分四边形CEMF的面积=S△ACM=
1
2
S△ACB=
1
2
×
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2
×a×a=
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a2
故答案为:
1
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a2
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有:“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”;全等三角形的对应边相等,对应角相等.也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质.
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