Question

某养殖专业户计划利用房屋的一面墙修造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已准备可以修高为3m．长30m的水池墙的材料，图中EF与房屋的墙壁互相垂直，设AD的长为xm．（不考虑水池墙的厚度）
（1）请直接写出AB的长（用含有x的代数式表示）；
（2）试求水池的总容积V与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果房屋的墙壁可利用的长度为10.5m，请利用函数图象与性质求V的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可以直接写出AB的长，（2）由题干条件写出V与x的关系式，并求出x的取值范围，（3）首先把二次函数化成顶点坐标式，开口向下，写出其对称轴，根据单调性求得最大值．
解答：解：（1）由题意得：AB=30-3x（3分）

（2）由（1）知V与x的函数关系式为：V=3×x（30-3x）（5分）=-9x²+90x（6分）30-3x＞0，x＜10（7分）
∴x的取值范围是：0＜x＜10（8分）

（3）30-3x≤10.5，解得x≥6.5（9分）
V=-9x²+90x=-9（x-5）²+225（10分）
∵a=-9＜0
∴函数图象是第一象限内开口向下的抛物线，对称轴为x=5，
当x≥5时，V随x的增大而减小（11分）
又∵6.5＞5，由左图可知，
∴当x=6.5时，V取得最大值，（12分）
此时V_最大值=-9（x-5）²+225=-9（6.5-5）²+225=204.75．（13分）
点评：本题主要考查二次函数的应用，考查函数的对称轴和单调性，应用二次函数解决实际问题比较简单．