题目内容
(2004•乌鲁木齐)如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,直线O1A交圆O1于C,交圆O2于D,连接CB并延长交圆O2于E,AF切圆O1于A,交CE于F.(1)求证:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232258943918270/SYS201310212322589439182018_ST/0.png)
(2)若
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【答案】分析:(1)观察要证明的比例式,则需要证明AF∥DE.连接AB.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ABC=90°,再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角,得∠CBA=∠D=90°,根据切线的性质,得∠CAF=90°,从而根据同位角相等,得两条直线平行;
(2)由(1)得直角三角形CDE,要求DE的长,已知∠C=30°,只需求得该直角三角形的一边即可.根据已知圆的半径,得AC=4,结合(1)所证明的比例式即可求解.
解答:
(1)证明:连接AB.
∵AC是直径,
∴∠CBA=90°.
又∵四边形ABED内接于⊙O2,
∴∠CBA=∠D=90°.
又∵AF切⊙O1于A点,
∴∠CAF=90°.
∴AF∥DE.
∴
.
(2)解:∵
,
又∵CA=1,
∴CD=
.
在Rt△CDE中,tan30°=
,
∴DE=
.
点评:此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识.
(2)由(1)得直角三角形CDE,要求DE的长,已知∠C=30°,只需求得该直角三角形的一边即可.根据已知圆的半径,得AC=4,结合(1)所证明的比例式即可求解.
解答:
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∵AC是直径,
∴∠CBA=90°.
又∵四边形ABED内接于⊙O2,
∴∠CBA=∠D=90°.
又∵AF切⊙O1于A点,
∴∠CAF=90°.
∴AF∥DE.
∴
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(2)解:∵
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又∵CA=1,
∴CD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232258943918270/SYS201310212322589439182018_DA/2.png)
在Rt△CDE中,tan30°=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232258943918270/SYS201310212322589439182018_DA/3.png)
∴DE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232258943918270/SYS201310212322589439182018_DA/4.png)
点评:此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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