题目内容
【题目】如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为一边在第一象限内作正方形OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1,且OD≠2),连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交y轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.
(1)、试找出图1中的一个损矩形 ;
(2)、试说明(1)中找出的损矩形一定有外接圆;
(3)、随着点D的位置变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由.
(4)、在图②中,过点M作MG⊥y轴,垂足是点G,连结DN,若四边形DMGN为损矩形,求点D的坐标.
【答案】(1)、四边形ADMB;(2)、证明过程见解析;(3)、N(0,-1);(4)、D(3,0).
【解析】
试题分析:(1)、根据题意得出损矩形;(2)、取BD中点H,连接MH,AH,根据四边形OABC和四边形BDEF为正方形得出△ABD和△BDM为直角三角形,从而得出HA=HB=HM=HD=BD,说明损矩形ABMD一定有外接圆;(3)、根据外接圆的性质得出∠MAD=∠MBD,根据四边形BDEF是正方形得出OA和ON的长度,从而得出点N的坐标;(4)、延长AB交MG于点P,过点M作MQ⊥x轴于点Q,设点MG=x,根据△MBP和△MDQ全等得出关于x的一元二次方程,从而求出点D的坐标.
试题解析:(1)、四边形ADMB就是一个损矩形.
(2)、取BD中点H,连接MH,AH. ∵四边形OABC,BDEF是正方形, ∴△ABD,△BDM都是直角三角形,
∴HA=BD,HM=BD ∴HA=HB=HM=HD=BD ∴损矩形ABMD一定有外接圆.
(3)、∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H ∴∠MAD=∠MBD ∵四边形BDEF是正方形
∴MBD=45° ∴MAD=45° ∴OAN=45° ∵OA=1 ∴ON=1 ∴N点的坐标为(0,﹣1).
(4)、延长AB交MG于点P,过点M作MQ⊥x轴于点Q 设点MG=x,则四边形APMQ为正方形
∴PM=AQ=x﹣1 ∴OG=MQ=x﹣1 ∵△MBP≌△MDQ ∴DQ=BP=CG=x﹣2 ∴MN2=2x2
ND2=(2x﹣2)2+12 MD2=(x﹣1)2+(x﹣2)2
∵四边形DMGN为损矩形 ∴2x2=(2x﹣2)2+12+(x﹣1)2+(x﹣2)2 ∴2x2﹣7x+5=0
∴x=2.5或x=1(舍去) ∴OD=3 ∴D点坐标为(3,0).