题目内容

【题目】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为一边在第一象限内作正方形OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1,且OD2),连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交y轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.

(1)、试找出图1中的一个损矩形

(2)、试说明(1)中找出的损矩形一定有外接圆;

(3)、随着点D的位置变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由.

(4)、在图中,过点M作MGy轴,垂足是点G,连结DN,若四边形DMGN为损矩形,求点D的坐标.

【答案】(1)、四边形ADMB;(2)、证明过程见解析;(3)、N(0,-1);(4)、D(3,0).

【解析】

试题分析:(1)、根据题意得出损矩形;(2)、取BD中点H,连接MH,AH,根据四边形OABC和四边形BDEF为正方形得出ABD和BDM为直角三角形,从而得出HA=HB=HM=HD=BD,说明损矩形ABMD一定有外接圆;(3)、根据外接圆的性质得出MAD=MBD,根据四边形BDEF是正方形得出OA和ON的长度,从而得出点N的坐标;(4)、延长AB交MG于点P,过点M作MQx轴于点Q,设点MG=x,根据MBP和MDQ全等得出关于x的一元二次方程,从而求出点D的坐标.

试题解析:(1)、四边形ADMB就是一个损矩形.

(2)、取BD中点H,连接MH,AH. 四边形OABC,BDEF是正方形, ∴△ABD,BDM都是直角三角形,

HA=BD,HM=BD HA=HB=HM=HD=BD 损矩形ABMD一定有外接圆.

(3)、损矩形ABMD一定有外接圆H ∴∠MAD=MBD 四边形BDEF是正方形

MBD=45° MAD=45° OAN=45° OA=1 ON=1 N点的坐标为(0,1).

(4)、延长AB交MG于点P,过点M作MQx轴于点Q 设点MG=x,则四边形APMQ为正方形

PM=AQ=x1 OG=MQ=x1 ∵△MBP≌△MDQ DQ=BP=CG=x2 MN2=2x2

ND2=(2x2)2+12 MD2=(x1)2+(x2)2

四边形DMGN为损矩形 2x2=(2x2)2+12+(x1)2+(x2)2 2x27x+5=0

x=2.5或x=1(舍去) OD=3 D点坐标为(3,0).

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