Question

如图（a），已知AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，B为切点，D是⊙O上一点（不A、B重合）．
（1）求证：∠DAB=∠DBC；
（2）若AB不是⊙O的直径，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，则给出你的证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠D=90°，AB⊥BC，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DAB=∠DBC；

（2）成立．
理由：如图2，作直径BE，连接DE，
∵BE是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠BDE=90°，BE⊥BC，
∴∠BED+∠EBD=90°，∠EBD+∠DBC=90°，
∴∠BED=∠DBC，
∵∠BED=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBC；

如图3，作直径BE，连接DE，
∵BE是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠BDE=90°，BE⊥BC，
∴∠BED+∠EBD=90°，∠EBD+∠DBC=90°，
∴∠BED=∠DBC，
∵∠BED=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBC．
分析：（1）由AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，易得∠D=90°，AB⊥BC，然后由同角的余角相等，即可证得：∠DAB=∠DBC；
（2）首先作直径BE，连接DE，同（1），可证得∠BED=∠DBC，又由圆周角定理，可得∠BED=∠DAB，则可证得∠DAB=∠DBC．
点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．