Question

 已知直线y＝kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。

1.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；                 

2.（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；

3.（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵ 直线y＝kx-3过点A（4，0），

∴ 0 ＝ 4k -3，解得k＝。

∴ 直线的解析式为 y＝x-3。  …………………………………1分

由直线y＝x-3与y轴交于点C，可知C（0,-3） 。

∵ 抛物线经过点A（4,0）和点C,

∴ ，解得 m＝。

∴ 抛物线解析式为 ……………2分

2.（2）对于抛物线，

令y＝0，则，解得x₁＝1，x₂＝4。

∴ B（1，0）。 

∴ AB＝3，AO＝4，OC＝3，AC＝5，AP＝3-t，AQ＝5-2t。

① 若∠Q₁P₁A＝90°,则P₁Q₁∥OC（如图1），

∴ △AP₁Q₁∽△AOC。

∴ , ∴。解得t＝ ；  ………………4分

② 若∠P₂Q₂A＝90°, ∵∠P₂AQ₂＝∠OAC，

∴ △AP₂Q₂∽△AOC。

∴ , ∴ 。解得t＝； …………………6分

③ 若∠Q A P＝90°,此种情况不存在。    ………………………5分 

综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形

3.（3）答：存在。

过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）。

∴ S_△ADF＝DF·AE，S_△CDF＝DF·OE。

∴ S_△ACD＝ S_△ADF + S_△CDF

＝DF·AE +DF·OE

＝DF×（AE+OE）

＝×（DE+DF）×4

＝×（）×4

＝。  ……………………………7分

∴ S_△ACD＝（0<x<4）。

又0<2<4且二次项系数，∴ 当x＝2时，S_△ACD的面积最大而当x＝2时，y＝。

∴ 满足条件的D点坐标为D （2, ）。 …………………8分

解析:略