题目内容

已知:矩形纸片ABCD中,AB=26厘米,BC=18.5厘米,点E在AD上,且AE=6厘米,点P是AB边上一动点.按如下操作:

步骤一,折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN(如图1所示);
步骤二,过点P作PT⊥AB,交MN所在的直线于点Q,连接QE(如图2所示)
(1)无论点P在AB边上任何位置,都有PQ
=
=
QE(填“>”、“=”、“<”号);
(2)如图3所示,将纸片ABCD放在直角坐标系中,按上述步骤一、二进行操作:
①当点P在A点时,PT与MN交于点Q1,Q1点的坐标是(
0
0
3
3
);
②当PA=6厘米时,PT与MN交于点Q2,Q2点的坐标是(
6
6
6
6
);
③当PA=12厘米时,在图4中画出MN,PT(不要求写画法),并求出MN与PT的交点Q3的坐标.
分析:(1)根据折叠的性质可得:PQ=QE.
(2)①②问,分别画出图形,可直观的得出Q1点的坐标、Q2点的坐标;
③连接EP,作EP的中垂线即得MN,过点P作AB的垂线,可得出PT,过点E作EG⊥Q3P,垂足为G,则四边形APGE是矩形,证明△Q3PF∽△PEA,利用对应边成比例可得出Q3P,继而得出Q3的坐标.
解答:解:(1)由折叠的性质可得:PQ=QE;

(2)①当点P在A点时,如图①所示:

故可得:Q1点的坐标是(0,3);
②如图②所示:

Q2点的坐标是(6,6);
③如图所示:

设MN与EP交于点F,
在Rt△APE中,∵PE=
AE2+AP2
=6
5

∴PF=
1
2
PE=3
5

∵∠Q3PF+∠EPA=90°,∠AEP+∠EPA=90°,
∴∠Q3PF=∠AEP.
又∵∠EAP=∠Q3FP=90°,
∴△Q3PF∽△PEA,
Q3P
PE
=
PF
EA

∴Q3P=
PF×PE
EA
=15.
∴Q3(12,15).
点评:本题考查了一道几何与函数综合题,它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式,通过动点P在AB上的移动构造探究性问题,让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中,提高动手能力,培养探究精神,发展创新思维.而试题的三个探究问题表现出对试题的求解要求层次分明,体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念.
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