题目内容
某公司生产一种健身自行车在市场上受到普遍欢迎,在国内市场和国外市场畅销,生产的产品可以全部出售,该公司的年生产能力为10万辆,在国内市场每辆的利润y1(元)与其销量x(万辆)的关系如图所示;在国外市场每辆的利润y2(元)与其销量x(万辆)的关系为:y2=.(1)求国内市场的销售总利润z1(万元)与其销量x(万辆)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)求国外市场的销售总利润z2(万元)与国内市场的销量x(万辆)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(3)求该公司每年的总利润w(万元)与国内市场的销量x(万辆)之间的函数关系式?并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少万辆时,该公司的年利润最大?
【答案】分析:(1)由图象可知:此函数为分段函数,当0≤x≤4时,图象为平行于x轴的线段;当4≤x≤10时,图象为一次函数的一段,设此时解析式为y=kx+b(k≠0),将(4,400)和(10,160)代入求出k与b的值,综上确定出y1与其销量x的关系式,根据总利润=每辆的利润×销量,即可列出z1与其销量x的函数解析式;
(2)根据国外市场每辆的利润y2与其销量x的关系,利用总利润=每辆的利润×销量,即可列出z2与其销量x的函数解析式;
(3)根据总利润=国内的利润+国外的利润,即w=z1+z2,列出w关于x的关系式,利用一次函数的性质及二次函数的性质分别求出x不同取值范围时函数的最大值,比较大小即可得到公司年利润最大时国内的销量与国外市场销量.
解答:解:(1)由图知:y1=,
则z1=xy1=;
(2)该公司的年生产能力为10万辆,若在国内市场销售x万辆,则在国外市场销售(10-x)万辆,
则z2=xy2=(10-x)y2=
=
=;
(3)设该公司每年的总利润为w(万元),则
w=z1+z2=
=,
当0≤x≤4时,w随x的增大而增大,当x=4时,w取最大值,此时w=2680,
当4≤x≤10时,当x=6时,w取最大值,此时w=2720,
所以综合得:当x=6时,w的最大值为2720,
此时,国内的销量为6万辆,国外市场销量为4万辆,年利润最大为2720万元.
点评:此题考查了二次函数的应用,涉及的知识有:一次函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,分段函数,以及待定系数法确定函数解析式,是一道综合性较强的应用题.
(2)根据国外市场每辆的利润y2与其销量x的关系,利用总利润=每辆的利润×销量,即可列出z2与其销量x的函数解析式;
(3)根据总利润=国内的利润+国外的利润,即w=z1+z2,列出w关于x的关系式,利用一次函数的性质及二次函数的性质分别求出x不同取值范围时函数的最大值,比较大小即可得到公司年利润最大时国内的销量与国外市场销量.
解答:解:(1)由图知:y1=,
则z1=xy1=;
(2)该公司的年生产能力为10万辆,若在国内市场销售x万辆,则在国外市场销售(10-x)万辆,
则z2=xy2=(10-x)y2=
=
=;
(3)设该公司每年的总利润为w(万元),则
w=z1+z2=
=,
当0≤x≤4时,w随x的增大而增大,当x=4时,w取最大值,此时w=2680,
当4≤x≤10时,当x=6时,w取最大值,此时w=2720,
所以综合得:当x=6时,w的最大值为2720,
此时,国内的销量为6万辆,国外市场销量为4万辆,年利润最大为2720万元.
点评:此题考查了二次函数的应用,涉及的知识有:一次函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,分段函数,以及待定系数法确定函数解析式,是一道综合性较强的应用题.
练习册系列答案
相关题目
阅读下列文字
2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元,经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为a件,与时间t天的关系如下表:
未来40天内,前20天每天的价格b(元/件)与时间t的关系为b=
t+25(1≤t≤20),后20天每天价格为c(元/件)与时间t的关系式为c=-
t+40(21≤t≤40)解得下列问题
(1)分析表中的数据,用所学过的一次函数,二次函数,反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元(n<4)利润给亚运会组委会,通过销售记录发现前20天中,每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.
2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元,经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为a件,与时间t天的关系如下表:
时间t(天) | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
日销售量a(件) | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
1 |
4 |
1 |
2 |
(1)分析表中的数据,用所学过的一次函数,二次函数,反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式;
(2)请预测未来40天中哪一天日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元(n<4)利润给亚运会组委会,通过销售记录发现前20天中,每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.