题目内容
(2009•浦东新区二模)如图,已知AB⊥MN,垂足为点B,P是射线BN上的一个动点,AC⊥AP,∠ACP=∠BAP,AB=4,BP=x,CP=y,点C到MN的距离为线段CD的长.(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(2)在点P的运动过程中,点C到MN的距离是否会发生变化?如果发生变化,请用x的代数式表示这段距离;如果不发生变化,请求出这段距离;
(3)如果圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,求BP:PD的值.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_ST/images0.png)
【答案】分析:(1)求y关于x的函数解析式,可以证明△ABP∽△CAP,根据相似比得出;
(2)C到MN的距离,即CD的长,可以延长CA交直线MN于点E,证明AB∥CD,由平行线的性质得出;
(3)圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,根据圆与圆的位置关系有(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,结合(1),(2)求出BP:PD的值.
解答:
解:(1)∵AB⊥MN,AC⊥AP,
∴∠ABP=∠CAP=90°.
又∵∠ACP=∠BAP,
∴△ABP∽△CAP.(1分)
∴
.
即
.(1分)
∴所求的函数解析式为
(x>0).(1分)
(2)CD的长不会发生变化.(1分)
延长CA交直线MN于点E.(1分)
∵AC⊥AP,
∴∠PAE=∠PAC=90°.
∵∠ACP=∠BAP,
∴∠APC=∠APE.
∴∠AEP=∠ACP.
∴PE=PC.
∴AE=AC.(1分)
∵AB⊥MN,CD⊥MN,
∴AB∥CD.
∴
.(1分)
∵AB=4,
∴CD=8.(1分)
(3)∵圆C与直线MN相切,
∴圆C的半径为8.(1分)
(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,
∴
,
∴x=2,(1分)
∴BP=2,
∴CP=y=2+8=10,
根据勾股定理得PD=6
∴BP:PD=
.(1分)
(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,
∴
.
∴
或
.
∴x=-2(不合题意,舍去)或无实数解.(1分)
∴综上所述BP:PD=
.
点评:本题难度较大,考查相似三角形的判定和性质.切线的性质及圆与圆的位置关系.
(2)C到MN的距离,即CD的长,可以延长CA交直线MN于点E,证明AB∥CD,由平行线的性质得出;
(3)圆C与直线MN相切,且与以BP为半径的圆P也相切,根据圆与圆的位置关系有(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,结合(1),(2)求出BP:PD的值.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/images0.png)
∴∠ABP=∠CAP=90°.
又∵∠ACP=∠BAP,
∴△ABP∽△CAP.(1分)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/0.png)
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/1.png)
∴所求的函数解析式为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/2.png)
(2)CD的长不会发生变化.(1分)
延长CA交直线MN于点E.(1分)
∵AC⊥AP,
∴∠PAE=∠PAC=90°.
∵∠ACP=∠BAP,
∴∠APC=∠APE.
∴∠AEP=∠ACP.
∴PE=PC.
∴AE=AC.(1分)
∵AB⊥MN,CD⊥MN,
∴AB∥CD.
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/3.png)
∵AB=4,
∴CD=8.(1分)
(3)∵圆C与直线MN相切,
∴圆C的半径为8.(1分)
(i)当圆C与圆P外切时,CP=PB+CD,即y=x+8,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/4.png)
∴x=2,(1分)
∴BP=2,
∴CP=y=2+8=10,
根据勾股定理得PD=6
∴BP:PD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/5.png)
(ii)当圆C与圆P内切时,CP=|PB-CD|,即y=|x-8|,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/6.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/7.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/8.png)
∴x=-2(不合题意,舍去)或无实数解.(1分)
∴综上所述BP:PD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232925256545044/SYS201310212329252565450024_DA/9.png)
点评:本题难度较大,考查相似三角形的判定和性质.切线的性质及圆与圆的位置关系.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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