Question

如图，一条直线与反比例函数y=

k

x

的图象交于A（1，5），B（5，n）两点，与x轴交于D点，AC⊥x轴，垂足为C．
（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；
（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连接CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．
①试说明△CDE∽△EAF；
②当△ECF为等腰三角形时，请求出F点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，进而求得与x轴的交点D的坐标；、
（2）①可以证得△ACD是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；
②分CF=CE，EF=FC，EF=CE三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得CF的长，则F的坐标可以求得．

解答：解：（1）①把（1，5）代入y=

k

x

得：5=k，则函数解析式是：y=

5

x

   
②把x=5代入y=

5

x

得：n=

5

5

=1，
设直线AB的解析式是y=mx+b，根据题意得：

m+b=5 5m+b=1

，
解得：

m=-1 b=6

，
则直线AB的解析式是：y=-x+6，
令y=0，解得：x=6，
则D的坐标是：D（6，0）；

（2）①∵A（1，5），C（1，0）D（6，0）
∴CD=AC=5
∵AC⊥CD
∴∠CAD=∠CDA=45°  
又∵∠FEC=45°
∴∠AFE=∠ACE+∠FEC=∠ACE+45°
∠DEC=∠ACE+∠CAD=∠ACE+45°
∴∠AFE=∠DEC       
∴△CDE～△EAF      
②∵△ECF为等腰三角形分三种情况．
①当CF=CE时，∠CEF=∠CFE=45°，
又∵∠CAB=45°，
∴A，F重合，则F的坐标是：（1，5）；
②当EF=FC时，∠FCE=∠CEF=45°，
∴CE是等腰直角△ACD的角平分线，
∴E是AD的中点，∠FEC=∠ECD=45°，
∴EF∥CD，
∴F是AC的中点，
∴CF=

5

2

∴F的坐标是：（1，

5

2

）；
③当EF=CE时，
∵△CDE∽△EAF      
∴△CDE≌△EAF
∴CD=EA=5，DE=AF=AD-EA=5

2

-5，
∴CF=AC-AF=5-（5

2

-5）=10-5

2

，
∴F的坐标是：（1，10-5

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确证得两个三角形相似是关键．