题目内容

(2000•辽宁)如图,在直角坐标系中,以x轴上一点P(1,0)为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点,点C的坐标为(0,).
(1)直接写出A、B、D三点坐标;
(2)若抛物线y=x2+bx+c过A、D两点,求这条抛物线的解析式,并判断点B是否在所求的抛物线上,说明理由.

【答案】分析:(1)由于AB是直径,且垂直于弦CD,由垂径定理即可求得OD的长,也就能求出D点的坐标;
连接AC、BC;在Rt△ABC中,OC⊥AB,由射影定理可得:OC2=OA•OB,用⊙O的半径表示出OA、OB的长,代入上式即可求出⊙O的半径,进而可得到A、B的坐标;
(2)将A、D的坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值;确定了抛物线的解析式后,再将B点坐标代入,即可判断出B点是否在该二次函数的图象上.
解答:解:(1)连接AC、BC,则∠ACB=90°;
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD,
∴OC=OD;
易知OC=,则OD=OC=,即D(0,-);
Rt△ABC中,OC⊥AB,由射影定理,得:
OA•OB=OC2=3,
设⊙O的半径为R,则OA=R-1,OB=R+1,代入上式,得:
(R+1)(R-1)=3,解得R=2;
∴OA=1,OB=3,即A(-1,0),B(3,0);
所以A、B、D的坐标分别为:A(-1,0),B(3,0),D(0,-).

(2)将A(-1,0),D(0,-)代入y=x2+bx+c中,得:
,解得
∴y=x2+(1-)x-
当x=3时,x2+(1-)x-=9+(1-)×3-=12-4≠0;
∴点B(3,0)不在抛物线y=x2+(1-)x-上.
点评:此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的性质及二次函数解析式的确定;能够在Rt△ACB中通过射影定理正确的求得⊙O的半径,是解答此题的关键.
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