Question

（2012•红桥区一模）已知a、b均为正数，且a+b=2，求代数式

a2+4

+

b2+1

的最小值

13

．

Answer 1

分析：将代数式

a2+4

+

b2+1

转化为

(b-2)2+(0-2)2

+

(b-0)2+(0-1)2

，理解为点P（b，0）到A（2，2）与C（0，1）的距离，利用勾股定理解答即可．

解答：解：将a+b=2转化为a=2-b，代入

a2+4

+

b2+1

得，

(b-2)2+(0-2)2

+

(b-0)2+(0-1)2

，
可理解为点P（b，0）到A（2，2）与C（0，1）的距离．
如图：找到C关于x轴的对称点B，
可见，AB的长即为求代数式

a2+4

+

b2+1

的最小值．
∵AB=

22+32

=

13

，
∴

a2+4

+

b2+1

的最小值为

13

．
故答案为：

13

．

点评：本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧妙的转化为几何问题．