题目内容
【题目】如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题:
(1)仔细观察,在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”
(2)在图2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度数.
(3)在图2中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系(用α、β表示∠P),并说明理由;
(4)如图3,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
【答案】
(1)3
(2)
解:∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,
∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,
即∠P=(∠C+∠B),
∵∠C=100°,∠B=96°
∴∠P=(100°+96°)=98°;
(3)
解:∠P=(β+2α);
理由:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,
∴∠BAP=∠BAC,∠BDP=∠BDC,
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,
∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC,∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC,
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴∠P=(∠B+2∠C),
∵∠C=α,∠B=β,
∴∠P=(β+2α);
(4)3600
【解析】(1)以M为交点的“8字形”有1个,以O为交点的“8字形”有2个;
(2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入计算即可;
(3)与(2)的证明方法一样得到∠P=(2∠C+∠B).
(4)根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根据四边形内角和为360°可得答案.
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和多边形内角与外角,需要了解三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)180°.多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°才能得出正确答案.