Question

聪明好学的小云查阅有关资料发现：用不过圆锥顶点平行于一条母线的平面截圆锥所得的截面为抛物面，即图1中曲线CFD为抛物线的一部分，如图1，圆锥体SAB的母线长为10，侧面积为50π，圆锥的截面CFD交母线SB于F，交底面⊙P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4，OB=9．
（1）求底面圆的半径AP的长及圆锥侧面展开图的圆心角的度数；
（2）当以CD所在直线为x轴，OF所在的直线为y轴建立如图2所示的直角坐标系，求过C、F、D三点的抛物线的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据圆锥侧面积的计算方法即可求得底面圆半径AP的长；由于圆锥侧面展开图是个扇形，且弧长等腰底面圆的周长，可据此求出侧面展开图的圆心角的度数；
（2）根据（1）得出的底面圆的半径即可得到BO、AB的长，由于OF∥AS，易证得△OBF∽△ABS，根据相似三角形所得到的比例线段即可求得OF的长，由此可得到F点的坐标；连接AC、BC；根据圆周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，OC⊥AB，根据射影定理即可求出OC的长，由此可得到C点的坐标；根据C、F的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：（1）∵50π=π•AP•10
∴AP=5；
∵2π•5=

10nπ

180

∴n=180°；
故底面圆的半径长为5，侧面展开图的圆心角的度数为180°；

（2）由OF∥SA得△OFB∽△ASB，
∴

OF

SA

=

BO

AB

，
∴

OF

10

=

9

10

∴OF=9，
∴F（0，9）；
连接AC，BC，则∠ACB=90°；
Rt△ABC中，OC⊥AB，OA=1，OB=9；
由射影定理可得CO²=1×9，
∴CO=3，
∴C（-3，0）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+c，则有：

9a+c=0 c=9

，
解得

a=-1 c=9

；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+9．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性质以及圆锥的相关计算，需要牢记的内容是圆锥的侧面积计算方法：S=πRL（R为底面圆半径，L为圆锥的母线长）．