Question

阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：
（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）直线l与已知直线y=-2x-1平行，因而直线的一次项系数是-2，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点A、B的坐标可以求出，点C的位置应分在B点的左侧和右侧两种情况进行讨论．根据三角形的面积就可以求出C点的坐标．

解答：解：（1）设直线l的函数表达式为y=kx+b，
∵直线l与直线y=-2x-1平行，∴k=-2，
∵直线l过点（1，4），
∴-2+b=4，
∴b=6．
∴直线l的函数表达式为y=-2x+6．
直线l的图象如图．

（2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，
∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）．
∵l∥m，
∴直线m为y=-2x+t．令y=0，解得x=

t

2

，
∴C点的坐标为（

t

2

，0）．
∵t＞0，∴

t

2

＞0．
∴C点在x轴的正半轴上．
当C点在B点的左侧时，S=

1

2

×（3-

t

2

）×6=9-

3t

2

；
当C点在B点的右侧时，S=

1

2

×（

t

2

-3）×6=

3t

2

-9．
∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S=

9- 3t 2 (0＜t＜6) 3t 2 -9(t＞6)

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数平行的条件，是需要熟记的内容．