题目内容
(2013•佛山)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).
分析:(1)把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可;
(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对称轴即可;
(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.
(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对称轴即可;
(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),
∴
,
解得
,
所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2;
(3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),
∴PP′=1,
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积,
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,
∴阴影部分的面积=2.
∴
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解得
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所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3;
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2;
(3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),
∴PP′=1,
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积,
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,
∴阴影部分的面积=2.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数图象与几何变换,(3)根据平移的性质,把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键.
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