Question

若对任何实数a，关于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：∵关于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有实数根，
∴△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
对任何实数a，有△=4a²+4a-8b≥0，
所以△′≤0，即4²-4×4×（-8b）≤0，
解得b≤．
所以实数b的取值范围为b≤．
分析：先计算关于x的方程x²-2ax-a+2b=0的△，把计算出的结果看作二次函数，开口向上，并且恒有△≥0，即函数图象不在x轴下方，因此得到△′≤0，解关于b的不等式即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了二次函数与一元二次方程的关系．