Question

已知方程m²x²-（4m+3）x+4=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，设S=

1

x1

+

1

x2

，则S的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由方程m²x²-（4m+3）x+4=0有两个不相等的实数根，得到m²≠0，且△＞0，即△=（4m+3）²-4×4m²=24m+9＞0，从而求出m的范围为：m＞-

3

8

且m≠0；再利用根与系数的关系用m表示S=

1

x1

+

1

x2

=

x1 x2

x1x2

=

4m+3

4

=m+

3

4

，再根据m＞-

3

8

且m≠0确定S的范围．

解答：解：∵方程m²x²-（4m+3）x+4=0有两个不相等的实数根，
∴m²≠0，且△＞0，即△=（4m+3）²-4×4m²=24m+9＞0，
解不等式组得m的范围为：m＞-

3

8

且m≠0；
∵x₁+x2=-

-(4m+3)

m 2

，x₁x2=

4

m 2

∴S=

1

x1

+

1

x2

=

x1 x2

x1x2

=

4m+3

4

=m+

3

4

，
∵m＞-

3

8

且m≠0；
∴S＞

3

8

且m≠

3

4

．
所以S的取值范围是S＞

3

8

且m≠

3

4

．
故答案为S＞

3

8

且m≠

3

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程根与系数的关系和不等式的解法．