Question

小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c-2a|+（b+c-5）²=0，求b的取值范围”．
（1）小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度．”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程．
（2）小红说：“我也看不出如何求b的范围，但我能用含b的代数式表示c”．同学，你能吗？若能，帮小红写出过程．
（3）小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．

Answer 1

分析：（1）根据平方和绝对值的非负性，可得b+c-2a=0且b+c-5=0，把b+c看作一个整体，两个方程相减即可得a的值．
（2）由b+c-5=0，直接移项，可得用含b的代数式表示c的式子．
（3）由（1）（2）可知，a=

5

2

，c=5-b，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，列不等式组，求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵|b+c-2a|+（b+c-5）²=0，
∴b+c-2a=0且b+c-5=0，
∴2a=5，解得a=

5

2

；
（2）由b+c-5=0，得c=5-b；
（3）由三角形的三边关系，得
当5-b≥

5

2

，即b≤

5

2

时，则

b＜5-b+ 5 2 b＞5-b- 5 2

，解得

5

4

＜b≤

5

2

；
当5-b＜

5

2

时，即b＞

5

2

，则

b＜5-b+ 5 2 b＞ 5 2 -(5-b)

，解得

5

2

＜b＜

15

4

，
∴b的取值范围为

5

4

＜b＜

15

4

．

点评：已知三角形的两边，则第三边a的取值范围是“两边之差＜a＜两边之和”．