Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；

（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x，3；（2）点P坐标为（5，－5）；（3）或或17或5．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的表达式，即可求得二次函数的对称轴x=2，可得点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；（2）如图①，过P点作PD⊥BH交BH于点D，因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（3）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．

试题解析：

（1）把点A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2＋bx，求得该抛物线的表达式为y＝－x2＋4x；

∴抛物线的对称轴为x=2，

又∵点B的坐标为（1，3），

∴点C的坐标为（3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC＝×2×3＝3；

（2）如图①，过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，－m2＋4m），

由S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，

可得6= 3×3＋ （3＋m－1）（m2－4m）－（m－1）（3＋m2－4m），

∴3m2－15m＝0，m1＝0（舍去），m2＝5，

∴点P坐标为（5，－5）；

（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图②，

CM＝MN，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC＝，∴S△CMN＝；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图③，

作辅助线，构建如图③的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌span>Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝，∴S△CMN＝；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图④，

CN＝MN，∠MNC＝90°，作辅助线，同理得：CN＝，∴S△CMN＝17；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图⑤，

同理得：CN＝，此时点N与点A重合，∴S△CMN＝5；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上所述：△CMN的面积为： 或或17或5．