Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA=a，PM=

3

a，PB=2-a，则△PMB的周长等于

2+

3

．

Answer 1

分析：连接OM，由PM为圆的切线，利用切线的性质得到PM垂直于OM，在直角三角形OPM中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出MB为斜边上的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出MB的长，即可确定出三角形PMB的周长．

解答：解：连接OM，
∵PM为圆O的切线，
∴OM⊥PM，即∠PMO=90°，
在Rt△OPM中，OP=OB+PB=a+2-a=2，OM=OA=a，PM=

3

a，
根据勾股定理得：OP²=MP²+OM²，即4=3a²+a²，
解得：a=1，
∴MP=

3

，BP=OB=1，即MB为斜边上的中线，
∴MB=1，
则△PMB的周长为2+

3

．
故答案为：2+

3

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．