Question

有一个Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数y=

3

x

上，则点C的坐标为

 

．

Answer 1

分析：由于反比例函数的图象是双曲线，点A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因为斜边BC在x轴上，所以可能点B在点C的右边，也可能点B在点C的左边，故一共分四种情况．针对每一种情况，都可以运用三角函数的定义求出点C的坐标．

解答：解：

①当点A在第一象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵点A在反比例函数y=

3

x

上，
∴当y=

3

2

时，x=2，∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴点C的坐标为（

1

2

，0）；
②

当点A在第一象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵点A在反比例函数y=

3

x

上，
∴当y=

3

2

时，x=2，∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴点C的坐标为（

7

2

，0）；
③

当点A在第三象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵点A在反比例函数y=

3

x

上，
∴当y=-

3

2

时，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴点C的坐标为（-

1

2

，0）；
④

当点A在第三象限时，如上图，
过点A作AD⊥x轴于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵点A在反比例函数y=

3

x

上，
∴当y=-

3

2

时，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴点C的坐标为（-

7

2

，0）．
综上，可知点C的坐标为 (

1

2

，0)，(

7

2

，0)，(-

7

2

，o)，(-

1

2

，0)

点评：本题考查反比例函数的综合运用以及30°角的直角三角形的性质，本题的关键是看到C的位置有4种不同的情况．