Question

如图，在平面直角示系中，A、B两点的坐标分别是A（-1，0）、B（4，0），点C在y轴的负半轴上，且∠ACB=90°
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）直线l⊥x轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t（0≤t≤5）秒，运动过程中直线l在△ABC中所扫过的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据A、B的坐标，可求得OA、OB的长，在Rt△ABC中，OC⊥AB，利用射影定理即可求得OC的值，从而得到C点的坐标．
（2）已知了抛物线上的三点坐标，可利用待定系数法求得抛物线的解析式．
（3）此题应分段考虑：
①当0≤t≤1时，直线l扫过△ABC的部分是个直角三角形，设直线l与AC、AB的交点为M、N，易证得△AMN∽△ACO，根据相似三角形所得比例线段即可求得MN的值，从而利用三角形的面积公式求得S、t的函数关系式；
②当1＜t≤5时，直线l扫过△ABC的部分是个多边形，设直线l与BC、AB的交点为M、N，同①可求得MN的长，即可得到△BMN的面积表达式，那么△ACB、△BMN的面积差即为直线l扫过部分的面积，由此求得S、t的函数关系式．

解答：解：（1）已知A（-1，0），B（4，0），则OA=1，OB=4；
在Rt△ABC中，CO⊥AB，
由射影定理得：OC²=OA•OB=4，
即OC=2，
故C（0，-2）．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
依题意有：a（0+1）（0-4）=-2，a=

1

2

，
故抛物线的解析式为：y=

1

2

（x+1）（x-4）=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（3）①当0≤t≤1时，由题意知：AM=t；
∵直线l∥OC，且OC=2OA，
∴MN=2AM=2t；
故S=

1

2

t•2t=t²；
②当1＜t≤5时，由于AM=t，AB=5，则BM=5-t；
∵直线l∥OC，且OB=2OC，
∴MN=

1

2

BM=

5-t

2

，
故S=

1

2

×5×2-

1

2

×

(5-t)2

2

=-

1

4

t²+

5

2

t-

5

4

；
综上可知：S、t的函数关系式为：
S=

t2(0≤t≤1) - 1 4 t2+ 5 2 t- 5 4 (1＜t≤5)

．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识；（3）题中，一定要根据直线l的不同位置来分类讨论，以免漏解．