Question

给出四个命题：①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax²+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是

 

．

Answer 1

分析：运用一元二次方程求根公式，以及根的判别式与完全平方数可知，①②③正确，利用数据的奇偶性得出方程根的情况．

解答：解：①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；
∵方程的根为x=

-b± b2-4ac

2a

，只有△为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根．故：①正确；
②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；
∵方程的根为x=

-b± b2-4ac

2a

，方程若有有理根，只有△能够开完全平方，方程有有理数根．
故：②正确；
③无理数系数方程：

2

x-2

2

x+

2

=0的解是x=1，是有理数故：③错误．
④证明：
设方程有一个有理数根

n

m

（m，n是互质的整数）．
那么a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇数、偶数分类讨论，
∵m，n互质，∴不可能同为偶数．
①当m，n同为奇数时，则an²+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数≠0；
②当m为奇数，n为偶数时，an²+bmn+cm²是偶数+偶数+奇数=奇数≠0；
③当m为偶数，n为奇数时，an²+bmn+cm²是奇数+偶数+偶数=奇数≠0．
综上所述 不论m，n取什么整数，等式a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0都不成立．
即假设方程有一个有理数根是不成立的．
∴当a，b，c都是奇数时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有有理数根
故：④正确
故填：①②④．

点评：此题主要考查了一元二次方程整数根的求法以及完全平方数和数据的奇偶性，题目难度不大．