题目内容

如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作 $数学公式$ ，将一块直角三角板的直角顶点P放置在 $数学公式$ （不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，并设PQ=x，以下我们对△CPQ进行研究．
（1）△CPQ能否为等边三角形？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由；
（2）求△CPQ周长的最小值；
（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时分别求x的取值范围．

解：（1）假设△CPQ为等边三角形时，
一方面x=BQ=PQ=CQ= $\text{[math]}$ ，
另一方面，连接AQ，
∵∠PAQ=30°，∠APQ=90°，
∴∠AQP=60°，
∵∠PQC=60°，
∴∠AQB=60°，
∴∠BAQ=30°，
∴tan∠BAQ=tan30°= $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴得出自相矛盾；
∴△CPQ不能为等边三角形．

（2）△CPQ的周长=PQ+QC+CP=BQ+QC+CP=BC+PC=1+PC；
又∵PC≥AC-PA= $\text{[math]}$ -1，
∴△CPQ的周长≥1+ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
即当点P运动至点P₀时，△CPQ的周长最小值是 $\text{[math]}$ ．

（3）连接AC，交 $\text{[math]}$ 于P₀，则P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；
∴P₀Q=BQ=x= $\text{[math]}$ -1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°．
①当P在 $\text{[math]}$ 上运动时，
∵∠APQ=90°，
∴0°＜∠CPQ＜90°，
此时△CPQ是锐角三角形， $\text{[math]}$ -1＜x＜1．
②当P与P₀重合时，∠CPQ=90°，此时△CPQ是直角三角形，x= $\text{[math]}$ -1．
③当P在 $\text{[math]}$ 上运动时，
∵∠APC＜180°，∠APQ=90°，
∴90°＜∠CPQ＜180°，
此时△CPQ是钝角三角形，0＜x＜ $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）首先假设△CPQ为等边三角形，然后可得x=BQ=PQ=CQ= $\text{[math]}$ ，然后连接AQ，由∠BAQ的正切，可得x= $\text{[math]}$ ，得出矛盾，即可证得△CPQ不能为等边三角形；
（2）首先由△CPQ的周长=PQ+QC+CP，可得△CPQ周长为1+PC，然后由PC≥AC-PA，求得PC的最小值，即可求得△CPQ周长的最小值；
（3）首先连接AC，交 $\text{[math]}$ 于P₀，则可得P₀Q=BQ=x，∠P₀CQ=45°，∠CP₀Q=90°；继而可得P₀Q=BQ=x= $\text{[math]}$ -1，∠PQC=∠PAB＜90°，∠PCQ＜90°，然后从△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时去分析，即可求得答案．
点评：此题考查了切线的性质，三角形周长的求解方法，反证法的应用，三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想思想的应用，注意辅助线的作法．