Question

在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm，开口圆的直径为6cm．当滤纸片重叠部分三层，且每层为

1

4

圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？

Answer 1

分析：此题是圆锥侧面积求解的典型问题，要灵活运用公式，并结合实际解题．

解答：解：解法一：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为

1

4

圆，
则围成的圆锥形的侧面积=（1-2×

1

4

）S_滤纸圆=

1

2

S_滤纸圆．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为180度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：πd=π×6=6π（cm），
该侧面展开图的圆心角为6π÷6×

180°

π

=180度．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．

解法二：
∵圆锥可以看作是等腰三角形围绕其对称轴旋转而成的几何图形，其正视图和侧视图皆为全等的等腰三角形，
∴如滤纸片能紧贴漏斗内壁，由其两母线和开口圆的直径构成的等腰三角形必与漏斗两母线和开口圆的直径构成的等腰三角形相似或顶角相同．
根据题意可得，滤纸围成的圆锥形开口圆的圆周长应为（1-2×

1

4

）×2π×5=5π（cm），
由此可得其开口圆的直径为5cm，
∵滤纸圆锥的两母线长和开口圆的直径都是5cm；漏斗两母线长和开口圆的直径都是6cm，
∴两三角形皆为等边三角形．
故两等边三角形相似且角相等，所以滤纸片能紧贴漏斗内壁；

（2）如果抽象地将母线长为6cm，开口圆直径为7.2cm的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为7.2πcm，
圆心角为7.2π÷6×

180°

π

=216度，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为216°，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积=（25π-

216

360

×25π）÷2=5π（cm²）．

点评：将几何图形做适当变形，找出隐藏条件是解一些复杂几何问题常用的方法．