题目内容

在日常生活中,观察各种建筑物的地板,你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.

(1)如图1,请根据下列图形,填写表中空格:

 

      正多边形边数

  3

  4

  5

  6

 …

 

正多边形每个内角的度数

 

 

 

 

 

 

(2)如果限于一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

(3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种,再在其它正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图,并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由.

 

【答案】

(1)60°,90°,108°,120°,(2)正三角形、正方形、正六边形;(3)答案不唯一,如正方形和正八边形,正三角形和正十二边形.

【解析】本题主要考查了平面镶嵌(密铺).(1)利用正多边形一个内角=180- 求解;

(2)进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°,因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍;

(3)常见的两种正多边形的密铺组合有:正三角形和正四边形能密铺,正六边形只能和正三角形密铺.所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,只能选择正四边形.

解:(1)由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形、…、正n边形的每一个内角为:

60°,90°,108°,120°,…

(2)如限于用一种正多边形镶嵌,则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形;

(3)如:正方形和正八边形(如图),

设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,

那么m,n应是方程m•90°+n•135°=360°的正整数解.

即2m+3n=8的正整数解,只有m=1,n=2一组,

∴符合条件的图形只有一种.

 

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