Question

感受理解
如图①，△ABC是等边三角形，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，则线段FE与FD之间的数量关系是

EF=FD

自主学习
事实上，在解决几何线段相等问题中，当条件中遇到角平分线时，经常采用下面构造全等三角形的解决思路
如：在图②中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定（SAS），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，从而得到线段CA与CB相等
学以致用
参考上述学到的知识，解答下列问题：
如图③，△ABC不是等边三角形，但∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：FE=FD．

Answer 1

分析：感受理解：首先利用等边三角形的内角相等和角平分线的性质得到∠DAC=∠ECA，利用等角对等边得到FA=FC，然后证明三角形EFA全等于三角形DFC即可证得结论；
学以致用：在AC上截取AG=AE，连接FG，根据“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形对应边相等可得FE=FG，再根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理推出∠2+∠3=60°，从而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根据平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角边角”证明△CFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FD，从而得证．

解答：感受理解：
解：EF=FD．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，
∴FA=FC．
∴在△EFA和△DFC中，

∠EFA=∠DFC AF=CF ∠BAD=∠BCE

，
∴△EFA≌△DFC，
∴EF=FD；

学以致用：
证明：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，

AG=AE ∠1=∠2 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据所求角度正好等于60°得到角相等是解题的关键．