题目内容
如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线的顶点为C（3，4），抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C′．（1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D（0，4），l2上的点P与l1上的点P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）抛物线l1，l2关于x轴对称，那么C、C′也关于x轴对称，据此可求出C′的坐标．然后根据A、B、C′三点坐标即可求出抛物线l2的解析式；
（2）由于PP′总关于x轴对称，因此PP′∥y轴，根据平行四边形的判定定理可知，只有当OD=PP′时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形．可设出P点的横坐标，然后根据抛物线的解析式表示出P点纵坐标，由于PP′关于x轴对称，因此PP′的长就是P点纵坐标绝对值的2倍，然后根据上面得出的等量关系可求出P点的坐标；
（3）假设存在这样的点M，过M作ME⊥x轴于E，可在直角三角形AMB中，根据特殊角的度数、AB的长以及射影定理求出M点的坐标，然后将M的坐标代入抛物线的解析式中进行判断即可．
（2）由于PP′总关于x轴对称，因此PP′∥y轴，根据平行四边形的判定定理可知，只有当OD=PP′时，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形．可设出P点的横坐标，然后根据抛物线的解析式表示出P点纵坐标，由于PP′关于x轴对称，因此PP′的长就是P点纵坐标绝对值的2倍，然后根据上面得出的等量关系可求出P点的坐标；
（3）假设存在这样的点M，过M作ME⊥x轴于E，可在直角三角形AMB中，根据特殊角的度数、AB的长以及射影定理求出M点的坐标，然后将M的坐标代入抛物线的解析式中进行判断即可．
解答：解：（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l2的函数关系式为y=a（x-3）2-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）2-4上，
∴（1-3）2a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l2的函数关系式为y=（x-3）2-4（或y=x2-6x+5）；
（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m2-6m+5|=4，即m2-6m+5=±2．
当m2-6m+5=2时，解得m=3±
．
当m2-6m+5=-2时，解得m=3±
．
∴当点P运动到（3-
，2）或（3+
，2）或（3-
，-2）或（3+
，-2）时，
P′P平行且等于OD，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；
（3）满足条件的点M不存在．理由如下：
若存在满足条件的点M在l2上，则∠AMB=90°，
∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=
AB=
×4=2．
过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=
BM=
×2=1，EM=
，OE=4．
∴点M的坐标为（4，-
）．
但是，当x=4时，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-
．
∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
设l2的函数关系式为y=a（x-3）2-4．
又∵点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）2-4上，
∴（1-3）2a-4=0，解得a=1．
∴抛物线l2的函数关系式为y=（x-3）2-4（或y=x2-6x+5）；
（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m2-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m2-6m+5|=4，即m2-6m+5=±2．
当m2-6m+5=2时，解得m=3±
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当m2-6m+5=-2时，解得m=3±
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∴当点P运动到（3-
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P′P平行且等于OD，以点D，O，P，P′为顶点的四边形是平行四边形；
（3）满足条件的点M不存在．理由如下：
若存在满足条件的点M在l2上，则∠AMB=90°，
∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=
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过点M作ME⊥AB于点E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=
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∴点M的坐标为（4，-
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但是，当x=4时，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-
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∴不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
点评：本题主要考查了轴对称图形的性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大．
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