题目内容

【题目】如图①ABACBDCD分别平分∠ABC和∠ACB.问:(答题时,注意书写整洁)

(1)图①中有几个等腰三角形?(写出来,不需要证明)

(2)D点作EFBC,交ABE,交ACF,如图②,图中增加了几个等腰三角形,选一个进行证明.

(3)如图③,若将题中的ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?线段EFBECF有什么关系?(写出来,不需要证明)

【答案】(1)有两个等腰三角形:ABCBDC.(2)增加了三个等腰三角形:EBDFDCAEF证明见解析;(3)有两个等腰三角形:EBDFDC.EFBECF,理由见解析

【解析】

(1)由条件可证得∠DBC=DCB,所以共有两个等腰三角形;

(2)由平行和角平分线的性质可得∠EDB=EBD,FDC=FCD,且AE=AF,所以增加了三个等腰三角形;

(3)此时同②只能得出∠EDB=EBD,FDC=FCD,即只有两个等腰三角形,且EF=BE+FC.

(1)AB=AC,

∴∠ABC=ACB,

BD、CD分别是角平分线,

∴∠DBC=12ABC=12ACB=DCB,

DB=DC,

∴△BDC是等腰三角形,

即在图1中共有两个等腰三角形;

(2)EFBC,

∴∠EDB=DBC,

BD平分∠ABC,

∴∠DBE=DBC,

∴∠DBE=EDB,

EB=ED,

∴△EBD为等腰三角形,同理FDC为等腰三角形,

EFBC,

∴∠AEF=AFE,

AB=AC,

∴△AEF为等腰三角形,

即在图2中增加了三个等腰三角形;

(3)同(2)可证明得EBD为等腰三角形,FDC为等腰三角形,

所以EF=BE+CF,

即只有两个等腰三角形.

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