Question

（1）顺次连接任意四边形各边中点构成的四边形是

 

；
（2）顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，构成的四边形是

 

；
（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是

 

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Answer 1

分析：（1）连接任意四边形的中点，如图，连接AC，根据三角形的中位线定理，可以证得HG=FE=

1

2

AC，并且HG∥EF，所以利用平行四边形的判定定理可知，该中点四边形是平行四边形．
（2）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF的一组邻边相等，所以根据菱形的定义可知该中点四边形是菱形．
（3）在（1）的基础上，易证平行四边形GHBF中有一个角是直角，所以根据矩形的定义可知该中点四边形是矩形．

解答：解：（1）如图所示，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
连接AC，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴HG、EF分别为△ACD与△ABC的中位线，
∴HG∥AC∥EF，HG=EF=

1

2

AC，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图所示，四边形ABCD的对角线AC=BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=

1

2

BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得，HG=EF=

1

2

AC，
∵AC=BD，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形；

（3）如图所示，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，求四边形EFGH的形状．
解：连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EH、GF分别为△ABD与△BCD的中位线，
∴EH∥BD∥GF，EH=GF=

1

2

BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得，HG∥AC∥EF，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥BD⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．

故答案分别为平行四边形、菱形、矩形．

点评：本题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合解答．