题目内容

如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=数学公式．
探究　如图1，AH⊥BC于点H，则AH=______，AC=______，△ABC的面积S△ABC=______．
拓展　如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，
（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现　请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并直接写出这个最小值．

解：∵在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=，
∴=，
∴BH=5，
∴AH==12，
∴HC=9，AC==15，
∴△ABC的面积S△ABC=×12×14=84；
故答案为：12，15，84；

（1）由三角形面积公式得出：S△ABD=mx，S△CBD=nx；

（2）∵m=，n=，
∴m+n=+=，
由于AC边上的高为：==，
∴x的取值范围为：≤x≤14，
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴x=时，（m+n）的最大值为：15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；

（3）x的取值范围是x=或13＜x≤14，
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为．
分析：探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC=，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m=，n=，再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
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x
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2
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1
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2
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（填序号）．
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