Question

我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里称为平面密铺）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，就能够拼成一个平面图形．
探究用同一种正多边形进行平面密铺．
例如：如图1，用三个同种类型（大小一样、形状相同）的正六边形地砖可以平面密铺．
（1）请问仅限于同一种类型的多边形进行密铺，哪几种能平面密铺？______（填序号）；
①正三角形　　②正四边形　　 ③正五边形　　 ④正八边形
探究用两种边长相等的正多边形进行平面密铺．
例如：如图2，二个正三角形和二个正六边形可以平面密铺．
（2）限用两种边长相等的正多边形进行平面密铺，以下哪几种是可行的？______
A．正三角形和正方形　　　B．正方形和正八边形　　　　 C．正方形和正五边形
D．正八边形和正六边形　　E．正三角形和正十二边形　　F．正三角形和正五边形
（3）继续推广到用三种不同的正多边形进行平面密铺，请写出符合题意的不同组合．
例如：①正三角形、正方形、正六边形；
②正三角形、正九边形、正十八边形；
③______；
④______．
（4）如果用形状，大小相同的如图3方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．

Answer 1

解：（1）根据正四边形每个内角为90度，能整除360度，能密铺；
正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故答案为：①②；

（2）正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密铺．
正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺．
正三角形的每个内角是60°，正十二边形的每个内角是150°，∵60°+2×150°=360°，能密铺．
故ABE可以进行平面镶嵌；
故答案为：ABE．

（3）正三角形、正四边形，正十二边形； 正三角形，正十边形，正十五边形；
正四边形，正六边形，正十二边形； 正四边形，正五边形，正二十边形；
正三角形，正八边形，正二十四边形；正三角形，正七边形，正四十二边形，
（写出二个，每个1分）

（4）如图所示：
．
分析：（1）根据正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，能进行密铺，说明一个顶点处的各内角之和为360°；
（2）分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
（3）利用任意图形一个顶点处的各内角之和为360°得出答案即可；
（4）任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，即每个角放在同一顶点处使用2次．
点评：此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．