题目内容
如图，在边长为12个单位的正方形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿正方形的边按B→C→D→A运动；动点Q同时从点C出发，以每秒2个单位的速度沿正方形的边按C→D→A运动，到达点A后停止运动，设运动时间为t（秒）；（1）直接写出：当t的取值在什么范围时，点P、点Q在正方形的同一条边上运动？
（2）若点P在BC边上运动，且AP=AQ，试求t的值；
（3）在整个运动过程中（不包括起点），要使△APQ是直角三角形，试求出所有符合条件的t的值．
【答案】分析：（1）根据点P和点Q的运动速度即可得到时间的取值范围；
（2）根据AP=AQ，AB=AD，判定Rt△ABP≌Rt△ADQ，从而得到BP=DQ，即3t=12-2t，并据此求得t值；
（3）分当0≤t≤4、4＜t≤6、6＜t＜8三种情况讨论即可得到符合条件的t值．
解答：
解：（1）当4≤t≤6或8≤t≤12时，
点P、点Q在正方形的同一条边上运动；
（2）在Rt△ABP与Rt△ADQ中，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴BP=DQ，即3t=12-2t，
∴t=
；
（3）当0＜t≤4时，∠PAQ不可能是直角；
若∠APQ=90°，可得：Rt△ABP∽Rt△PCQ，
则
=
，即
=
，
解得：t=
；
若∠AQP=90°，如答图，可得：Rt△ADQ∽Rt△QCP，
则
=
，即
=
，
解得：t1=3，t2=12，而t2=12不合题意，舍去；
当4＜t≤6时，只有当t=6时，点Q在点D处，点P在CD上，得△APQ是直角三角形；
当6＜t＜8时，△APQ必定是钝角三角形，不可是直角三角形；
综上所述，当t=
或t=3或t=6时，△APQ是直角三角形．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及正方形的性质的知识，特别是题目中涉及的动点问题，对学生来说是一个难点．
（2）根据AP=AQ，AB=AD，判定Rt△ABP≌Rt△ADQ，从而得到BP=DQ，即3t=12-2t，并据此求得t值；
（3）分当0≤t≤4、4＜t≤6、6＜t＜8三种情况讨论即可得到符合条件的t值．
解答：
解：（1）当4≤t≤6或8≤t≤12时，点P、点Q在正方形的同一条边上运动；
（2）在Rt△ABP与Rt△ADQ中，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴BP=DQ，即3t=12-2t，
∴t=
；（3）当0＜t≤4时，∠PAQ不可能是直角；
若∠APQ=90°，可得：Rt△ABP∽Rt△PCQ，
则
=，即=，解得：t=
；若∠AQP=90°，如答图，可得：Rt△ADQ∽Rt△QCP，
则
=，即=，解得：t1=3，t2=12，而t2=12不合题意，舍去；
当4＜t≤6时，只有当t=6时，点Q在点D处，点P在CD上，得△APQ是直角三角形；
当6＜t＜8时，△APQ必定是钝角三角形，不可是直角三角形；
综上所述，当t=
或t=3或t=6时，△APQ是直角三角形．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及正方形的性质的知识，特别是题目中涉及的动点问题，对学生来说是一个难点．
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