Question

“家友超市”购进一批成本价20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系式．
（1）试求出y与x的函数关系式；
（2）设“家友超市”销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4420元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围．

Answer 1

分析：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，然后根据图象找出直线上两点的坐标当然其中，得到关于k、b的方程组，由此即可求解；
（2）由于为成本价20元/千克，销售量为y（千克），销售单价为x，根据利润=销售量×（售价-成本价）即可求解；
（3）利用（2）的函数解析式即可得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解．

解答：解（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
由题意得

30k+b=400 40k+b=200

，
解之得

k=-20 b=1000

，
∴函数解析式为y=-20x+1000；

（2）由题意得P=（x-20）（-20x+1000），
则P=-20x²+1400x-20000（30≤x≤50）
∵-

b

2a

=35，在30≤x≤50范围内，
∴当销售价x=35元/千克时，超市有最大利润P=4500元；

（3）当P=4420时，4420=-20x²+1400x-20000，解得 x₁=33，x₂=37，
当P=4180时，4180=-20x²+1400x-20000，解得 x₁=31，x₂=39，
∴绿色食品销售单价为31≤x≤33，37≤x≤39的范围时符合要求．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=-

b

2a

时取得．