题目内容
探究证明:
如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,过点C作CD⊥AB于点D,设AD=a.BD=b.
(1)分别a,b表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的数量关系.(用含a,b的式子表示).
归纳结论:
根据上面的观察计算、探究证明,你能得
与
的大小关系是
≥
≥
.
实践应用:
要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,过点C作CD⊥AB于点D,设AD=a.BD=b.
(1)分别a,b表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的数量关系.(用含a,b的式子表示).
归纳结论:
根据上面的观察计算、探究证明,你能得
a+b |
2 |
ab |
a+b |
2 |
ab |
a+b |
2 |
ab |
实践应用:
要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
分析:(1)求出∠ADC=∠BDC=90°,∠CAB=∠BCD,证△ADC∽△CDB,得出
=
,代入即可求出CD,求出AB,即可求出OC;
(2)分为两种情况:当O和D不重合时得出
>
,当O和D重合时得出
=
,即可得出答案;设长方形镜框ABCD的长AD=a,宽AB=b,根据面积求出
=1,根据
≥
,求出a+b≥2,得出2(a+b)≥4,求出2(a+b)的最小值即可.
CD |
DB |
AD |
CD |
(2)分为两种情况:当O和D不重合时得出
a+b |
2 |
ab |
a+b |
2 |
ab |
ab |
a+b |
2 |
ab |
解答:探究证明:
解:(1)∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠CBA+∠BCD=90°,∠CBA+∠CAB=90°,
∴∠CAB=∠BCD,
∴△ADC∽△CDB,
∴
=
,
即
=
,
CD=
,
∵AB=AD+BD=a+b,
AB是⊙O直径,
∴半径OC=
AB=
;
即OC=
,CD=
;
(2)∵当D和O不重合时,如图,在Rt△OCD中,OC>CD,即
>
;
当D和O重合时,OC=CD,即
=
,
∴OC与CD表达式之间存在的数量关系是
≥
;
故答案为:
≥
.
实践应用:
解:设长方形镜框ABCD的长AD=a,宽AB=b,
∵长方形镜框ABCD的面积是1平方米,
∴AB=CD=b,AD=BC=a,ab=1,
∴
=1,
∵由以上结论可知:
≥
,
∴
≥1,
即a+b≥2,
∴2(a+b)≥4,
即2(a+b)的最小值是4,
∵长方形镜框ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=2a+2b=2(a+b),
∴镜框周长的最小值是4.
解:(1)∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠CBA+∠BCD=90°,∠CBA+∠CAB=90°,
∴∠CAB=∠BCD,
∴△ADC∽△CDB,
∴
CD |
DB |
AD |
CD |
即
CD |
b |
a |
CD |
CD=
ab |
∵AB=AD+BD=a+b,
AB是⊙O直径,
∴半径OC=
1 |
2 |
a+b |
2 |
即OC=
a+b |
2 |
ab |
(2)∵当D和O不重合时,如图,在Rt△OCD中,OC>CD,即
a+b |
2 |
ab |
当D和O重合时,OC=CD,即
a+b |
2 |
ab |
∴OC与CD表达式之间存在的数量关系是
a+b |
2 |
ab |
故答案为:
a+b |
2 |
ab |
实践应用:
解:设长方形镜框ABCD的长AD=a,宽AB=b,
∵长方形镜框ABCD的面积是1平方米,
∴AB=CD=b,AD=BC=a,ab=1,
∴
ab |
∵由以上结论可知:
a+b |
2 |
ab |
∴
a+b |
2 |
即a+b≥2,
∴2(a+b)≥4,
即2(a+b)的最小值是4,
∵长方形镜框ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=2a+2b=2(a+b),
∴镜框周长的最小值是4.
点评:本题考查了勾股定理和相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,能根据求出的结果得出规律是解此题的关键.
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