Question

将一个等腰直角三角板放在坐标系中，如图所示，三个顶点坐标分别是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），将三角板绕A点顺时针转α°后，使B点与x轴上的点D（-1，0）重合．
（1）写出点E的坐标和α的值（直接写出结果）；
（2）求出过B，C，E三点的抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAD是以AD为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用旋转的性质直接说出点E的坐标及旋转的角度即可；
（2）将三点的坐标代入函数的解析式后利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（3）设抛物线的对称轴于x轴交于点F，以D点为圆心，以AD为半径画弧，交对称轴于P₁，P₂，和以A为圆心，以AD为半径画弧交x轴与P₃，P₄，过A作AM垂直对称轴于M，分别求得其点的坐标即可．

解答：解：（1）E（-3，1）α=90
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c根据题意得：

9a-3b+c=1 a+b+c=-1 4a+2b+c=1

解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=-2

∴解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2
（3）存在
①设抛物线的对称轴于x轴交于点F，以D点为圆心，以AD为半径画弧，交对称轴于P₁，P₂，
∵抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2的对称轴为x=-

1

2

∴DF=1-

1

2

=

1

2

∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD=

22+1

=

5

∴FP1=

( 5 )2-( 1 2 )2

=

19

2

∴P₁（-

1

2

，

19

2

）
∵点P₁与点P₂关于x轴对称
∴P₂（-

1

2

，-

19

2

）
②以A为圆心，以AD为半径画弧交x轴与P₃，P₄，
过A作AM垂直对称轴于M，同理可求得P₃M=P₄M=

19

2

∴FP₃=FM+MP₃=2+

19

2

∴P₃（-

1

2

，2+

19

2

）
FP₄=MP₄-FM=

19

2

-2
∴P₄（-

1

2

，2-

19

2

）
综上所述，点P的坐标分别为P₁（-

1

2

，

19

2

）、P₂（-

1

2

，-

19

2

）、P₃（-

1

2

，2+

19

2

）、P₄（-

1

2

，2-

19

2

）

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是解决存在性问题时很多时候都采用分类讨论的方式确定点的坐标．