题目内容
【题目】如图,在等边△ABC中,AB=3,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,将△ADE沿DE翻折,与梯形BCED重叠的部分记作图形L.
(1)求△ABC的面积;
(2)设AD=x,图形L的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)已知图形L的顶点均在⊙O上,当图形L的面积最大时,求⊙O的面积.
【答案】
(1)
解:如图3,作AH⊥BC于H,
∴∠AHB=90°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=3.
∵∠AHB=90°,
∴BH= BC=
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AH=
.
∴S△ABC= =
(2)
解:如图1,当0<x≤1.5时,y=S△ADE.
作AG⊥DE于G,
∴∠AGD=90°,∠DAG=30°,
∴DG= x,AG=
x,
∴y= =
x2,
∵a= >0,开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大,
∴x=1.5时,y最大= ,
如图2,当1.5<x<3时,作MG⊥DE于G,
∵AD=x,
∴BD=DM=3﹣x,
∴DG= (3﹣x),MF=MN=2x﹣3,
∴MG= (3﹣x),
∴y= ,
=﹣ ;
综上所述,y关于x的函数解析式为:
(3)
解:如图4,∵y=﹣ ;
∴y=﹣ (x2﹣4x)﹣
,
y=﹣ (x﹣2)2+
,
∵a=﹣ <0,开口向下,
∴x=2时,y最大= ,
∵ >
,
∴y最大时,x=2,
∴DE=2,BD=DM=1.作FO⊥DE于O,连接MO,ME.
∴DO=OE=1,
∴DM=DO.
∵∠MDO=60°,
∴△MDO是等边三角形,
∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1.
∴MO=OE,∠MOE=120°,
∴∠OME=30°,
∴∠DME=90°,
∴DE是直径,
S⊙O=π×12=π.
【解析】(1)作AH⊥BC于H,根据勾股定理就可以求出AH,由三角形的面积公式就可以求出其值;(2)如图1,当0<x≤1.5时,由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式,如图2,当1.5<x<3时,重叠部分的面积为梯形DMNE的面积,由梯形的面积公式就可以求出其关系式;(3)如图4,根据(2)的结论可以求出y的最大值从而求出x的值,作FO⊥DE于O,连接MO,ME,求得∠DME=90°,就可以求出⊙O的直径,由圆的面积公式就可以求出其值.
【考点精析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)的相关知识点,需要掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等才能正确解答此题.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)