题目内容
【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
【答案】(1)见解析;(2)6.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,OE,由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形,再由E为斜边BC的中点,得到DE=BE=DC,再由OB=OD,OE为公共边,利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等,由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直,即可得证;
(2)在直角三角形ABC中,由∠BAC=30°,得到BC为AC的一半,根据BC=2DE求出BC的长,确定出AC的长,再由∠C=60°,DE=EC得到三角形EDC为等边三角形,可得出DC的长,由AC﹣CD即可求出AD的长.
(1)证明:连接OD,OE,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴DE=BE,
在△OBE和△ODE中,
,
∴△OBE≌△ODE(SSS),
∴∠ODE=∠ABC=90°,
则DE为圆O的切线;
(2)在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴BC=AC,
∵BC=2DE=4,
∴AC=8,
又∵∠C=60°,DE=CE,
∴△DEC为等边三角形,即DC=DE=2,
则AD=AC﹣DC=6.
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