题目内容
【题目】如图在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线l2:y=kx+2k与x轴交于点C,与直线l1交于点P.
(1)直线l2是否经过x轴上一定点?若经过,请直接写出定点坐标;若不经过,请说明理由;
(2)若S△ACP=8,求直线l2的函数关系式;
(3)过点M(0,6)作平行于x轴的直线l3,点Q为直线l3上一个动点,当△QAB为等腰三角形时,求所有点Q的坐标.
【答案】(1). 直线L2经过点(﹣2,0).(2)y=x+1;(3)点Q的坐标为(9,6)或(3,6)或(6,6)或(,6).
【解析】(1)∵y=kx+2k,
∴y=k(x+2).
∴当x=﹣2时,y=0.
∴直线L2经过点(﹣2,0).
(2)∵令y1=0得到﹣x+3=0,解得x=6,
∴A(6,0).
∵由(1)可知:点C的坐标为(﹣2,0).
∴AC=8.
∵S△ACP=8,
∴=8,即=8.
解得:Py=2.
∵将y=2代入﹣x+3=0得:﹣x+3=2,解得x=2,
∴点P的坐标为(2,2).
将点P的坐标代入y=kx+2k得:2k+2k=2,解得:k=.
∴直线L2的解析式为.
(3)∵将x=0代入y=﹣x+3得:y=3,
∴点B的坐标为(0,3).
设点Q的坐标为(n,6).
①当QB=QA时,由两点间的距离公式得:n2+(6﹣3)2=(6﹣n)2+(6﹣0)2.
解得:n=.
∴点Q的坐标为(,6).
②当BQ=BA时,由两点间的距离公式得:n2+(6﹣3)2=(6﹣0)2+(3﹣0)2.
解得:n=6或n﹣6.
∴点Q的坐标为(6,6)或(﹣6,6).
∵将Q(﹣6,6)代入y=﹣得:y=﹣(﹣6)+3=6,
∴点Q在直线AB上,此时A、B、Q不能构成三角形.
∴Q(﹣6,6)(舍去).
∴点Q的坐标为(6,6).
③当AB=AQ时,由两点间的距离公式得:(n﹣6)2+(6﹣0)2=(6﹣0)2+(3﹣0)2.
解得:n=9或n=3.
∴点Q的坐标为(9,6)或(3,6).
综上所述,点Q的坐标为(9,6)或(3,6)或(6,6)或(,6).