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(2006•烟台)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,),其顶点E的横坐标为2,此抛物线与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点(x1<x2),且x12+x22=16.
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)若D是y轴上一点,且△CDE为等腰三角形,求点D的坐标.
【答案】分析:(1)设所求抛物线为y=a(x-2)2+n,又已知点A的坐标,求出x1+x2以及x1x2的表达式后可解出a、n的值.
(2)由(1)知点B、C的坐标,易得△BCE为等腰直角三角形.然后CE分两种情况:当CE为腰以及当CE为底时求解.
解答:解:(1)设所求抛物线为y=a(x-2)2+n.(1分)
即y=ax2-4ax+4a+n.
∵点A(1,)在抛物线上,
=a+n.①(2分)
∵x1,x2是方程ax2-4ax+4a+n=0的两实根,
∴x1+x2=4,x1x2=.(3分)
又∵x12+x22=(x1+x22-2x1x2=42-2×=16,
∴4a+n=0.②(4分)
由①②得a=-,n=2.
∴所求抛物线解析式为y=-(x-2)2+2,
即y=-x2+2x.(5分)
顶点E的坐标为(2,2).(6分)

(2)由(1)知B(0,0),C(4,0).
又因为E(2,2),
故△BCE为等腰直角三角形,如图.(7分)
由等腰△CDE知,CE为腰或CE为底.
①当CE为腰时,又D在y轴上,则只能有DE=EC,显然D点为(0,0)或(0,4)(这时D、E、C共线,舍去).
∴D点只能取(0,0).(8分)
②当CE为底时,
设抛物线对称轴与x轴交于点F,
因△CEF为等腰直角三角形,
则线段CE的垂直平分线过点F,
设交y轴于点D.
故∠OFD=45度.
∴OD=DF=2.
∴D点坐标为(0,-2).(10分)
综上所述,点D的坐标为(0,0)或(0,-2).(11分)
点评:本题考查的是二次函数的图象以及二次函数知识的灵活运用,难度较大.
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