Question

让我们借助平面直角坐标系，一起探索圆的一种奇特的性质．
如图，以平面直角坐标系xOy的原点O为圆心，2个单位长为半径作⊙O，⊙O分别交x轴的负半轴及y轴正半轴于C、D两点，已知A（1，0），B（4，0）．
（1）填空：AC：BC=

1：2

，AD：BD=

1：2

；
（2）如果点P是圆上一个动点，那么上述结论是否仍然成立？请以点P在第二象限的情况进行探索．
解：（2）不妨假设点P在第二象限，且没点P坐标为（x，y），
根据勾股定理可得：x²+y²=

4

．（请你继续做下去并在最后对本小题的问题作出回答．）

Answer 1

分析：（1）根据点A、B、C和D的坐标，求出AC、BC、AD和BD的长，继而求解即可；
（2）利用勾股定理及两点间的距离公式求解．

解答：解：（1）AC=3，BC=6，AC：BC=1：2；AD=

5

，BD=2

5

，AD：BD=1：2；
（2）x²+y²=4，

PA

PB

=

(1-x)2+y2

(4-x)2+y2

=

5-2x

20-8x

=

1

2

．
结论是：⊙O上的任何一点到A、B两点的距离之比都是1：2．
故答案为：1：2；1：2；4．

点评：本题考查点的坐标、两点间的距离公式及勾股定理的知识，是一道小的综合题，但难度一般．